Ik snap er nog steeds geen reet van complexe getallen.

Als hij elke les zo doet, wordt je dat ook wel zat ;)

*plust*

Ik vind alle getallen boven de 14 al complex genoeg.

*OLOplusje @filmpje*

Zal ik dan maar even voor DDWW?

Er is een (wat vergezochte) parallel tussen de opsplitsing van het reële en imaginaire deel van een complex getal enerzijds en de virtuele/reële docent anderzijds. Samen vormen de twee delen het geheel.

Een complex getal (bijv. 4+2i, -3-14i, of i (=0+1i) ) bestaat altijd uit een reëel deel en een imaginair deel. Een "gewoon" (niet-complex) getal (bijv. 14) is een complex getal waarbij het imaginaire deel gelijk is aan 0.

Maar wat is dan die "i"?

i is een getal. Denk voor het gemak maar even aan pi. Het grote verschil tussen pi en i is dat pi bij benadering uit te drukken is in het jouw bekende getalstelsel (3,14159265...). i is dat niet, het is een getal "on another plane of existence", zo je wil. Toch is er een relatie tussen i en de ruimte van de reële getallen (getallen zoals jij ze kent).

Kort gezegd: het complexe getal i is gedefiniëerd als (i*i = -1). Je kan gewoon rekenen met complexe getallen:

(12-8i) + (4+4i) = (16-8i)
(2-i) * 3i = 2*3i + (-i)*3i = 6i + (-3*i*i) = 6i + (-3)*(-1) = (3+6i)

Toen ik in 6VWO hoorde over complexe getallen van een student die net een half jaar was begonnen met Toegepaste Wiskunde, gaf dat de doorslag voor mijn studiekeuze. Ik vond die definitie (kwadrateren levert een negatief getal op) een daad van rebellie.

Jaren later heb ik het getal tiet gedefiniëerd als (tiet*0 = 1100).

Waarbij (12-8i) + (4+4i) = (16-8i) natuurlijk niet klopt.

(12-8i) + (4+4i) = (16-4i)

/afhaak doet.

i is een getal
Nee.

/iRritatie

?!
Welles!

Nog meer trippen: quaternionen

Fout, i is een onbekend die toevallig in jouw wiskundige wereld kan worden ingevuld door een getal.

Het word me er niet echt duidelijker op als ik college krijg van 3 leraren.

iPhone is dus onbekende phone?

Precies @WP. i (en j, en k, en …) Is gewoon een operator kan meedoen in de berekening. Denken dat i een getal is, maar dan imaginair, leidt tot verdriet en flame wars.

@DDWW, het gemakkelijkste is om een complex getal te zien als een getallenpaar (a, b). Dat i² = -1 kun je daarvoor grotendeels negeren. Ik vind zo 1-2-3 weinig duidelijke uitleg in het Nederlands op ze iNterweps, maar een side over fractals en een voorbeeldhoofdstuk uit een wiskundeboek helpen je wellicht verder.

/Rotate your iPhone to dial real numbers

Je moest 'm toch anders vasthouden om te kunnen bellen?

Ja, @marjolein, maar om met "hold differently" te sethen ontbreekt bij mij de imaginatie.

/Reële zelfkennis.

*schudt handje van Monade*
Likewise, my dear ...

Ik ben geen didacticus; maar het lijkt mij voorlopig het makkelijkste om i te definieren als de wortel uit -1. Dan kan je met heen-en-weer substitueren alle sommetje oplossen.
De rest komt misschien later.
IANAM, YMMV.

wtf Monade?

Als i geen getal is, ben ik benieuwd wat het volgens jou wel is. Een operator is het in elk geval zeker niet.

Als i geen getal is, ben ik benieuwd wat het volgens jou wel is.
Voor mij is i een notatie om duidelijk te laten zien dat je niet met zo maar met een vectorveld te maken hebt.

Een operator is het in elk geval zeker niet.
i Beschouwen als een operator is één van de gemakkelijkste manieren om ernaar te kijken. Bij operaties als vermenigvuldiging en deling doet i een beetje mee en zorgt voor het omklappen van plusjes en minnetjes.

Deze ongefocuste blik is erg handig als je bijvoorbeeld werkt met complexe harmonische functies of het vermenigvuldigen complexe getallen gezien als geometrische operaties (rotatie, schaling, translatie, etc.)

Ik meen het serieus, als je je uitleg begint met i is de wortel uit -1 haken heel veel mensen gelijk af, zelfs betastudenten.

/Weer terug naar tieten en bier in de studio

Monade, ik vind je verhaal erg warrig. Het klopt bovendien niet. i is geen operator, en wel een getal. Neem het anders maar gewoon van me aan, want ik zit erop.

Waarom je vectorvelden erbij haalt, geen idee. Misschien omdat dat een toepassing is waarbij jij nog wel eens gebruik maakt van complexe getallen.

Ik meen het ook serieus. En beta-studenten die al afhaken bij wortel(-1) hebben een verkeerde studie gekozen.

Mijn poging om in een paar zinnen de wiskundige leek uit te leggen wat complexe getallen zijn, is in elk geval vakkundig gesmoord door deze hele discussie.

DDWW: niet naar Monade luisteren hoor! Hij maakt het complexer dan het is.

En wat is het nut er van in het dagelijks leven? Zeker om wiskundeleraren aan het werk te houden.

Een uitleg waarbij je zegt dat een complex getal een getallenpaar is, is toch veel eenvoudiger dan omstandig uit te leggen dat i de wortel is uit -1? Het doet eigenlijk niet ter zake en het verwart teveel mensen. Als je hen over die nodeloze verwarring heen helpt snappen ze de rest meestal vanzelf.

(a, b) + (c, d) = (a+c, b+d)
(a, b) * (c, d) = (ac - bd, ad +bc)
(a, b) / (c, d) = ((a, b) * (c, -d) )/ ( (c, d) * (c, -d))
Etcetera. Klaar!

Ik vind het misdadig om onnodige hindernissen op te werpen in het onderwijs, en zeker op de universiteit. Ikzelf begreep bijvoorbeeld helemaal niets van algebra, tot ik leerde over ringen en velden. Toen pas viel het kwartje; gelukkig bestonden die toen nog.

Waarom je vectorvelden erbij haalt, geen idee.
Omdat dat meest gebruikte representatie van veld C is.

@Behe nut: electrotechniek, 3D graphics, signaaltheorie (audio, video).

+i voor Monade "rotate your iPhone to dial real numbers".

Het kwartje van complexe getallen valt nog veel beter als je zegt dat je ze ook kunt gebruiken om coordinaten aan te geven. En dat de betere wiskunde continu switcht tussen visuele representaties en formules,

[Ziet de ontbrekende voegwoorden en lelijke spatiëring in mijn bovenstaande baksels]
Ik wil ook zo’n mooie edit-knop als @Sha-baz heeft…

/Gaat weer terug naar zijn grafentheorie

'Bij operaties als vermenigvuldiging en deling doet i een beetje mee en zorgt voor het omklappen van plusjes en minnetjes.'
Hoe kan ik mezelf i-en?

Wat nou, complexe getallen???

i = random = 4...

Klaar..

Mijn god. Blij dat ik 'iets met taal' ben gaan doen destijds...

dus random is altijd 4?

Random is altijd 4, behalve als het dat niet is.

/Carrière-switch naar het middelbaar onderwijs. Hmm…

Toch best leuk dat wiskunde, nou heb ik er spijt van dat ik niet beter heb opgelet destijds. Ik zou ook heel graag slimme dingen willen zeggen en indrukwekkende formules op de reaguurpanelen van de RC's plempen.
Maar helaas, ik kan alleen slechte onderschriften verzinnen. Zucht.

/touw zoekkt

?

/kijkt een deurtje verder

@DDW, wiskunde is net als sex: je bent nooit te oud om het te leren en je moet er niet over opscheppen maar het gewoon doen.

Hier een hele leuke toepassing van complexe getallen: flame fractals
Nog meer wiskunst: Dave Bollinger.

Nu ga je te ver Monade!

Beetje sex met wiskunde vergelijken pffff. Tijdens de sex ben ik nog nooit in slaap gevallen, tijdens wiskunde regelmatig.

Trouwens , ik mag niet eens naar je luisteren van dM, ja

/vingers in oren stopt en heel hard "The Heart Of Saturday Night" zingt.

haha!

@DatDanWeerWel. is nog nooit tijdens sex in slaap gevallen.

zucht: (ik zocht een bijpassende link en wat denk je )

Gevonden, cspr.

*Bedoelt maar*

Vandaar dat die Knut zo'n slome was!

Als Monade en dM het zo helder kunnen uitleggen, vraag ik me af waarom het complex genoemd wordt,...

@wowT

+1 (maar omdat het een complexe 1 is toch gewoon weer 0)

i kan geen getal zijn en eigenlijk alleen maar een operator.

Zeker als je uitgaat van de algemene notatie:

x ∈ ℂ => x = a + ib; a,b ∈ ℝ

Oftewel: je scrijft een complex getal als een set van twee reeële getallen waarbij de i 'operator' aangeeft welke van het paar het imaginaire deel aangeeft.

Daarna, als je bewerkingen op complexe getallen uit gaat voeren doen de i-tjes alleen mee om de imaginaire eigenschap hetzij door te geven (reeël x imaginair = imaginair) of op te heffen (imagair x imaginair = -1 x reeël).

Zoals je ziet voegt de i niets toe aan de grootte van de uitkomst zelf; i zelf is geen getal.

Haha Marjolein is tijdens wiskunde nooit in slaap gevallen.

Wel tijdens sex ... ;-)
/volgens mij am I doing it wrong. Damn.

Nerd!

Ik geef de voorkeur aan worteljurk (dnak @Ketsman) if it's all the same to you.

You can leave your carrot dress on

nine and a half geeks

Marjolein's wiskunde :-P

OLO!

i kan geen operator zijn, en is misschien een getal, maar ik denk dat de term eenheid de lading beter dekt. Dat i een operator kan zijn is echt gelul, alleen al om het simpele feit dat je er een operator op toe kan passen. Als i een operator was dan zou dat een expressie als "i*i" of "i+i" of "sin(i)" toch leeg maken? zoals "sqrt(+-x)^sin(-)" ook niks is.

Bovendien zit i gewoon in ℂ. Dat kun je van plus of min niet zeggen.

vermenigvuldigen met i voegt niets toe aan de absolute waarde van een getal, maar dat betekent niet dat er niets veranderd is. Het is niet voor niets dat cos(phi) in de elektriciteitssector hoger dan 0,8 moet blijven.

UIT die worteljurk

Niet helemaal; i is luie-zwijnen-mathematici speak voor "1 x i", het reeële getal 1 gedecoreerd met de operator i.

Dat het een eenheid zou zijn is nog onzinniger want dan zou i * i * i een eenheid van i³ opleveren (cf. lengte x lengte x lengte = inhoud; m x m x m = m³).

Denken dat alleen +-x/ operatoren zijn getuigd van weinig fantasie/abstract denkvermogen imho. In mijn ervaring vaak voorkomend bij elektrotechnisch ingenieurs die het rekenen met complexe getallen aangrijpen om iets over (wissel)spanning en inductie enzo te kunnen zeggen ;-)

/worteljurk weer aan doet

Je zou het ook zonder i kunnen doen en alleen Re(c) en Im(c) gebruiken; de functies die het reele en het imaginaire deel van c extraheren. Dan heb je nog een inverse functie nodig om c weer uit zijn twee componenten samen te stellen; bijv c= Cmplx(a,b).
[ i is dan de contructie Cmplx(0,1) ]

De rekenregels blijven uiteraard hetzelfde, maar de formules worden iets vleziger.

Complete anarchie in de wiskunde begrijp ik? Er zijn geen vaste wetten en iedereen doet maar wat hem/haar het beste uitkomt. Cool vak.

/beurs aanvragen gaat

Da's een leuke; volgens mij is d'r niet zoiets als een standaardnotatie in de wiskunde. Echte wiskundigen beginnen dan ook met van alles te definieren. Met een beetje mazzel gebruiken ze dan iets als het equivalent van de standaard libc, but sometimes not.

Plus dat notatie natuurlijk een hobby is voor sommige wiskundigen: hoe druk je met zo min mogelijk tekens en symbolen zo veel mogelijk uit.

Volgens mij geen anarchie; er zijn meerdere notaties mogelijk voor hetzelfde. Soms wordt de kortste gekozen, soms is de keuze historisch gegeven. Dan zijn er ook nog dingen die pas na lang redeneren isomorf (= eigenlijk hetzelfde ) blijken te zijn.
IANAM, YMMV

Traditionele wiskundigen zijn zowat de grootste geestelijk luie sloddervossen die er op twee benen mogen rondlopen. Echt, een wiskundige verhandeling lezen met een informatica-petje op is een hel.

Precies wat @marjolein zegt: met i = 1*i wordt het allemaal een stuk duidelijker, net zoals het complexe getal schrijven als een getallenpaar.

/Er staat toch wat ik bedoel?

Het zou me niks verbazen als (dankzij de computer) de wiskundige notatie zou verschuiven naar een meer functionele, dus bijv a = sum( Im(c)) | c = forall(C).
of als "struct" notatie: a = Sum(c.im) ...

(sorry ik kan al die rare tekens niet produceren hiero.)

Kijk eens naar Mathematica, @Wildplasser. Oh, wat is dat een fijn programma.

Brrr struct notatie ;-)
Er zijn ondertussen zat talen die dat soort syntaxtische suiker in de aanbieding hebben WP - met name de functioneel georiënteerden.

Ja, ik had mathematica en R (S) in gedachten.
Het wordt trouwens pas echt spannend als die wiskundologen ook nog iets nieuws gaan uitvinden, en daar een notatie voor moeten moeten verzinnen, bijvoorbeeld die complexe getallen, of Leslie Lamport's TLA. kost je een week om te snappen waar het over gaat.
[toen ben ik afgehaakt]
Mathematica schijnt ooit begonnen te zijn als term-herschrijf-systeem. (schoon ship). Handig voor luie wiskundigen. Canonieke vorm vinden is trouwens een leuk subprobleem (zie BDD). Maar wiskundigen noemen dat anders.

Valt er nog iets te hakken trouwens?
ik hou niet zo van dat abstracte gelul.

Sja, zat te hacken. Maar da's wel workrelated. Weinig tijd + energie over voor andere dingen.

Heb ik ook, Marjolein. Maar dat moet af. En daarom is het niet leuk.
Een ander voorbeeld van "nieuwe" wiskunde is trouwens Codd's (+Date's) relationele algebra. Leuke verhandeling van Tom Lane (in de Postgres-documentatie) over het herschrijven van query-trees. Tree-valued boolean Logic considered harmfull...

s/tree-valued/three-valued/
(no pun intended ;-)

mimimimimimimi!

OLO to Joy!

Hops, een nieuwe dag om gelijk te krijgen. :-)

Marjoleins verhaal is erg sterk, zeker voor een meisje.
En inderdaad, i = 1*i. Ik was bijna overtuigd.
Maar toch niet.

Want ook in i = 1*i zie ik i niet als operator.
Ik ken geen operator die enkel gebruikt kan worden in combinatie met een andere operator (*, de vermenigvuldiging).

Ik bied een compromis aan door voor te stellen dat *i dan de operator is.

Ah. Verse discussie! :-)

Er zijn ook unaire operatoren dM (denk aan de logische ontkenning) ...

Feitelijk doet de hele i er niet toe, het is een notationeel hulpmiddel om bij te houden wie nu het imaginair deel is en wie niet.

Een complex getal is niets anders dan een geordend paar reeële getallen.

Laat dat even op je inwerken - de crux zit hem natuurlijk in geordend.

Complexe getallen zijn gewoon gemaakt uit reeële getallen (hoewel ruimteschepen ook een optie schijnen te zijn), alleen zit er een gedefinieerde volgorde aan. Sommige notaties zijn er slechts om die volgorde (makkelijker) zichtbaar te maken. Het blijven echter reeële getallen.

De rekenregels voor complexe getallen zijn alleen maar een uitbreiding op die voor reeële getallen om er voor te zorgen dat ook de verzameling ℂ gesloten is onder optelling, vermenigvuldiging, deling en vermenigvuldiging.

Als dat laatste niet zo zou zijn zou je er nl minder handig mee kunnen rekenen/zou hun nut beperkt zijn - of in ieder geval niet zo universeel toepasbaar zijn als nu het geval is.

Kunnen jullie geen bot gaan maken ofzo?

Ik heb de meiden van www.wiskundemeisjes.nl gemaild voor bijscholing.

Op welk vlak?

Engels natuurlijk duh

De wiskundemeisjes hebben zich allebei al vermenigvuldigd, dus ik ben bang dat het bij unair aftrekken blijft, @DDWW.

gezien dit topic zal het wel worteltrekken worden.

Hey, i is gewoon een getal want i ligt in het complexe vlak op de plaats (0,1). Het gaat er toch gewoon om dat complexe getallen een uibreiding zijn van de reële getallen, net zoals de reële een uitbreiding zijn van de rationele getallen? Gewoon, om te zorgen dat x=SQRT(a) een oplossing heeft voor alle a die in R liggen? Daartoe ordenen we de getallen niet langer ééndimensionaal, maar tweedimensionaal (het complexe vlak dus) en i is daarom een getal in die opvatting.

And PLZ. Een discussie over complexe getallen zonder Euler?

And PLZ. Een discussie over complexe getallen?

FTFY.

"Rapsel, jij vindt dit niet zo leuk topic hè?"

"Nee, het druk me veul te hard op mijn tekortkomingen als Alpha alphamale."

NEE NEE NEE! Driewerf NEEN!

Wat jij bedoeld met i is niet i maar een afkorting van het getallenpaar (0,1) of in andere notatie 0 + 1i of ... (afijn er zijn nog andere notaties).

@Rapsel, als het een complexe wortel is dan is het antwoord √2/2*(1+i)

http://www.hoppathee.nl/

/ff geen wiskunde

Apenkoning²=-14
En hop, je bent een complexe spamhoer

Marjolein, jij maakt de laatste tijd opvallend veel d/t fouten. Ik denk dat je wat moet bijslapen.

En voor die i: het lijkt me logisch dat er bij de overgang van reeele naar complexe getallen een extra een eenheids-element nodig is. Het is al heel fijn dat ze de nul wel samen gebruiken; dat scheelt weer een lastige constante, en het alfabet is toch al zo klein

@Olifantje Lollige linkjes is geen spamhoeren.

duh.. dat zeg ik toch ook niet. Als i²=-1 dan i ≠ 1. Wel blijven opletten...

Ik vind het maar complex.

Dat is een reële mogelijkheid.

Ik ben niet wiskundig ângelégè, maar dM's wortel-1 vind ik toch wel degelijk de meest tot de verbeelding sprekende uitleg.
Iedereen weet dat de uitkomst ervan niet op te schrijven is (of niet 'bestaat') maar als je met een pistool op je hoofd moet toegeven dat het antwoord wel bestaat, maar dat het antwoord in een ander getallen-realm ligt, zou ik daar geen moeite mee hebben.

Hij past niet.
Gaat je grap.